[兰州一诊]2024年兰州高三诊断考试数学试题

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(2)要证f(x)>xlnx-(m+1)sinx,即证e+mx-1>xnx-(m+1)sinx,x∈(0，+∞)，即证e2+(m+1)(x+sinx)-x-1-xlnx>0,x∈(0，+∞)，设k(x）=x+sinx,k'(x)=1+c0sx≥0，…6分故k(x)在(0，+∞)上单调递增，又k(0)=0,所以k(x)>0,又因为m+1>1,所以(m+1)(x+sinx)>x+sinx,所以e+(m+1)(x+sinx)-x-1-xlnx>e+sinx-1-xn0,…8分①当00,xlnx≤0，所以e+sinx-1-xnx>0;…9分②当x>1时，e+sinx-1-xlnx≥e2-xlnx-2…11分令g(x)=e-xlnx-2,则g'(x)=e-lnx-1,设A(到=g《✉则h(到)=g-…13分因为x>1时，h'(x)单调递增，所以h'(x)>h'(1)=e-1>0,所以h(x)即g(x)在(1，+∞)上单调递增，所以g(x)>g'(1)=e-1>0所以g(x)在(1，+∞)上单调递增，所以g(x)>g(1)=e-2>0∴.e+sinx-1-xlnx≥e-xlnx-2>0综上可知，当m>0时，e+mx-1-xlnx+(m+1)sinx>e+sinx-1-xlnx>0,即f(x)>xlnx-(m+1)sin此.…17分数学参考答案第4页（共4页）

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