快乐考生·双考信息卷·第四辑 2024届一轮收官摸底卷(一)理数试题

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20.解：(1)由已知，设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),当x=2时，y2=4p,则y=±√4p,所以不妨设P(2,√4P),Q(2,-√4p),因为0P10Q,所以0P·00=0,所以4-4p=0,解得p=1,所以抛物线C的方程为y2=2x.…4分因为⊙M与直线l:x=2相切，M(4,0),所以⊙M的半径为2，所以⊙M的方程为(x-4)2+y2=4.…………6分(2)由已知可得N(8,4)在抛物线上，设A1(x1,y1),A2（x2,y2),24断以w-8-2y斤-16y1+4'…7分28所以M,的点斜式方程为y-4子4x-8)、…8分整理可得2x-(4+y1)y+4y1=0,此直线与圆相切，可得、4+(4+万18+4y,1=2方后可得3y+8y1-4=0.9分又因为y好=2x1,化简得3x1+4y1-2=0,10分同理：NA2的方程为3x2+4y2-2=0,所以直线A1A2方程为3x+4y-2=0,所以点M到直线4,4，距离为2-2=232+4所以直线AA2与⊙M相切.…12分21.(1)证明：令F(x)=f(x)-x=e-x,F'(x)=e*-1.…1分令F'(x)>0曰x>0,令F'(x)<0→x<0所以F(x)在(0，+∞)单增，F(x)在(-∞，0)单减，所以F(x)的最小值为F(0)=1,所以f(x)≥x+1成立.…4分(2)解：由题得sinx-2(e-1)≤mln(x+1)在xe[0,π]上恒成立，即h(x)=2e+mln(x+1)-sinx-2≥0，xe[0,π]恒成立因为h'(x)=2e+x+i-cosx,m①若m≥0，h'(x)≥2e-cosx>0,h(x)在[0，π]上单调递增h(x)≥h(0)=0,符合题意；…6分②若m<0,令p()eh()=2e+x1-o,ae[0,ml则p'(x)=2e-(:41+sin>0,所以h'(x)在[0，m]单调m递增，且h'(0)=1+m.…7分(i)若-1≤m<0,h'(x)≥h'(0)≥0，h(x)在[0，π]上单调递增，h(x)≥h(0)=0,符合题意；…9分(i)若m<-1,h'(0)<0,当>0时0<1<1，则k()=2c+x+1-cost >2e*+m-1,………………10分取=h1,m>0,则(n2)>2e宁+m-1=0,2则存在0∈(0，h2),使得当xe(0,)时，h'()<0,