炎德文化数学2024年普通高等学校招生全国统一考试考前演练一答案

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则P(0,0,√3)，C(1,2,0),D(-1,1,0),B(1,0,0),P心=(1,2，-3)，Pi=(-1,1,-3),P2=(0,0,-3).设平面PCD的法向量为m=(xc,y,之).由P心.m=0,PD·m=0得x+2y-3z=0,-x十y-√3x=0,令x=1,则y=-2,x=一√3，即m=（1,-2,一√3).由(1)知平面PCE的一个法向量为BD=(-2,1,0),所以cos(m,Bd)=,m·B立-4W√10mBD|√8X55.11分所以二面角E-PC-D的正弦值为⑤512分方法二：设平面PCD的法向量为n=(a,b,c).a+2b-√3c=0,由PC.n=0,PD·n=0,得(-a+b-√3c=0,令a=-1,则b=2,c=3,即n=(-1,2,W3).410所以c0sm,m)=mm一5X85m·n…11分所以二面角E-PC-D的正弦值为正5…12分19.【解析】(1)：MA⊥AQ,∴.Sg边卷os=|MA|·|QA=|QA=√TMQ2-MA2=√MQ2-1≥√MO-I=√3.∴.四边形QAMB面积的最小值为W3。…6分(2设AB与MQ交于P,则MPLAB,MBLBQ.1MP=√1-(2）)-子在R△MBQ中，MB12=MPIMQI,即1=号MQ,MQ=3,设Q(x,0),则x2十22=9，x=士5，.Q(士√5,0).…12分20.【解析】(1)设抛物线焦点为F,有|KA十|AA'|=KA|+|AF≥|KF=√2，得号-1，则抛物线的方程为y=4红……5分(2)设A(,y),B(x2,2),T(m,n),直线AB方程为x=t(y-1),联立/=4x,得y2-4y十4t=0,4=(4)2-16>0,y十=4,12=4，7分x=t(y-1),且有TA·Ti=(.-m)(x2-m)+(y-n)(2一n),而TA.TB=[t-(m+)][2-(m+t)]+(y一n)(%一n)=(+1)y1y2-[t(m+t)十n](y+2)+(m十t)2+2=(+1)(4t)-[t(m+t)+n](4t)+(m+t)2+n2=(1-4m)2十2(2-2n十m)1十m2十2.…10分11-4m=0,为满足题设，取m4'可得（2-2n+m=0,9n=8'即春在定点T(日，号)，使科T.T店为定值6412分21.【解析11)由a1=2,a1=2-知a1-1=1,。1anan-1故21心教列。是以1为公差，1为首项的等差数列，m4分a,白=，即a,=1…6分n②会-=-（中出”，数学试题参考答案（长郡版）一5