炎德英才·名校联考联合体2023年春季高二3月联考数学试题

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20.(1)证明：取AB的中点E,连接SE、DE,如图所示：因为∠DAB=∠ABC=2∠ABD=90°，所以AB=AD.…1分因为△SAB的面积为√3，所以AB=AD=2.…2分在△SDE中，SE=√22-1=√3，SD=2√2，DE=√/I2+22=√5，B因为SE十DE=SD,所以SE⊥DE,…3分因为△SAB是等边三角形，E为线段AB的中点，所以SE⊥AB,..4分又因为AB∩DE=E,AB,DEC面ABCD,所以SE⊥面ABCD,…5分而SEC面SAB,所以面SAB⊥面ABCD.…6分(2)解：以E为原点，EA,ES分别为y轴，之轴，行AD的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则E(0,0,0),S(0,0W3),D(2,1,0),A(0,1,0),C(1,-1,0),则SA=(0,1,-3),SD=(2,1,-3),S0=(1,-1,-3),…7分设n=(x,y,z)为面SCD的法向量，则n·5i-2+y3=0,n.SC=x-y-3*=0,令之=√3，则x=2,y=-1,即n=（2,一1，W3).…9分设直线SA与面SCD所成的角为a,11分2X2W2所以ms1-()-9，所以直线SA与面SCD所成角的余弦值为停。12分D解：不妨设一条渐近线的方程为y片名z,即6x一ay=0,…则F2（c,0)到渐近线bx-ay=0的距离为AF2|=bc-0=b=√3，2分√6+(-a)2又BF1一BF2=2,所以2a=2,獬得a=1,…3分所以双曲线C的方程为x2-号=1.4分(2)证明：设P(x1,y),直线OM与直线QF2的交点为(xo,y),设直线DP的方程为y=k(x一1)，由题可知O(0,0),D(1,0),F2(2,0),…5分y=k(x-1),化简得(3-2)x2十2k2x-k2-3=0,由题意知3-2≠0，所以0=产，由0=1可得=产会。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。.....7分则n=n-1D=(3.3-1）3装，所以r(装)：…8分【高三教学质量监测调研考试·数学参考答案第5页（共6页】233160D