炎德英才大联考·2024年普通高等学校招生考试考前演练一 数学

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20.解析：(1)取线段CM的中点O,连接BO,PO,:∠PMB=号PM=BM,△PMB为等边三角形，∴.PB=PM=PC=BM=BC,.BO⊥CM,PO⊥CM.(2分)∠CBM=∠CPM-3∴B0=Po-CM-5ps,2∴BO2+PO=PB,∠POB=(4分)C,CM∩BO=O,∴.PO⊥平面AMCD,POc平面PMC,∴.平面PMC⊥平面AMCD.(5分)(2)由(1)知OP,CM,OB相互垂直，以O为坐标原点，OC,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系Oxz.(6分)设AB=2AD=2V2,则CM=2,PO=B0=1,连接DM,则DM⊥CM,且DM=2,.P0,0,1),C(1,0,0),D(-1,2,0),M-1,0,0),∴MC=(2,0,0),PD=(-1,2,-1),PC=(1,0,-1),设P龙=PD=(-1,21,-),2∈(0,1)，则EC=P元-P龙=0+1，-21,1-1)，n-MC 2x=0设(，%为平面ECM的法向量，则EC=(1+1)x-2y+(2-1)z=0令y=1得n=01产之.平面PCM的一个法向量m=(0,1,0),(10分).cos (m,n)mn-c0s2,解得2=-1（舍）成=，m网/1+2)22-1∴当点E在线段DP上，满足PE=PD时，二面角E-CM-P的大小为(I2分)21解析：(1)当P在y轴上时，即P0,-1),设过点P的切线方程为y=kx-1,与x2=2py联立得x2-2pkc+2p=0,由直线和抛物线相切可得4=4p22-8p=0,xB=2p,M=8,4N2p,1),B(-V2p,1),(3分)由01L0B可得p(-Vp)+1X1-0,解得p-2∴抛物线C的方程为x2=y.(5分)(2)2=y,.y=2x,设Ax1,y),B(x2,2),则y-1=2x1(x-x),即2xx=y+y1,同理可得2x2x=y+2,(8分)又P为直线y=x-1上的动点，设Pt,t-1),则2x1t=t-1+y1,22t=t-1+2,由两点确定一条直线可得AB的方程为2xt=t-1+y,即t(2x-1)-0y-1)=0,(10分)第4页（共5页）