2022-2023学年河南省开封市五校高一（下）期末数学试卷

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19.(12分)在面直角坐标系xOy中，已知动点M到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等.(1)求点M的轨迹方程；(2)设不经过原点的直线1与点M的轨迹相交于A,B两点，①若直线1经过点(4,0)，则OA⊥OB;②若OA⊥OB,则直线1经过定点(4,0)在①②中任选一个补充在上面的横线上，并给出证明.(注：如果选择两个命题分别证明，按第一个证明计分，)解：(1)方法1设M(x,y),因为点M到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等，所以Vx-12+y2=x+1,…2分整理得y2=4x,所以点M的轨迹方程为y2=4x.…4分方法2因为点M到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等，所以点M的轨迹是以(1,0)为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，所以点M的轨迹方程为y2=4x.…4分(2)选①由题意可知，直线1的斜率不为0，设直线l的方程为x=y+4.…5分[x=my+4,联立y2=4x消x,得y2-4my-16=0,…7分△=16m2+64>0,设A(x,y)B(女3，y2),则y+y2=4m,…9分yy2=-16数学试卷第7页(（共14页)